Matemáticas

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http://hdl.handle.net/10554/10086

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Caminatas aleatorias en problemas de valor en la frontera
(Pontificia Universidad Javeriana) Prieto Pira, Juan Esteban; Moreno Gutierrez, Vladimir
El objeto de estudio y discusión de este documento es el método de las caminatas aleatorias flotantes para analizar el comportamiento de la solución de la ecuación de Laplace en dos dominios bidimensionales: rectangular y circular.
Campos geométricos, tensor de Ricci y aplicaciones
(Pontificia Universidad Javeriana) Guerrero Barragan, Kevin Daniel; Vargas Domínguez, Andrés; Trejos Serna, Haimer Alexander
Este trabajo en el área de Geometría Riemanniana busca estudiar varias nociones de campos vectoriales geométricos. Los campos considerados incluyen los campos de Killing, los campos conformes, los campos 2-Killing, sus propiedades más importantes y su relación con la geometría de la variedad subyacente. También se consideran aplicaciones para el estudio de los solitones de Ricci (que son importantes en el estudio del flujo de Ricci). Como parte del trabajo se calculan ejemplos explícitos de cada uno, incluyendo casos que no aparecen en la literatura consultada.
Introduction to Dirac geometry
(Pontificia Universidad Javeriana) Alejo Rincon, Valentina; Vargas Domínguez, Andrés; Martinez Alba, Nicolas
El propósito de este trabajo es presentar elementos básicos de la geometría de estructuras de Dirac, incluyendo definiciones y propiedades fundamentales de las estructuras simplécticas y de Poisson. Se estudian operaciones importantes, incluyendo el uso del corchete de Courant y se consideran algunos ejemplos explícitos. Finalmente, se expone el Teorema de descomposición de Weinstein como un caso especial de un teorema más general de Frejlich-Marcut sobre una forma normal que pueden tomar las estructuras de Poisson y cuya demostración usa algunas herramientas de la geometría de estructuras de Dirac.
An uncertainty principle for functions with symmetries over finite fields
(Pontificia Universidad Javeriana) Díaz Padilla, Diego Fernando; Ochoa Arango, Jesús Alonso; Katz, Daniel; Podestá, Ricardo
El principio de incertidumbre discreto de Biró-Meshulam-Tao ha tenido importantes aplicaciones en procesamiento de señales, dando lugar al campo de sensado comprimido. Este principio representa una mejora significativa respecto a otro principio de incertidumbre discreto propuesto por D. Donoho y P. Stark en 1989. Terence Tao hizo una observación clave en 2003, demostrando que esta mejora es equivalente a un conocido teorema de Chebotarev sobre los menores de la matriz de la transformada discreta de Fourier. En la literatura se han propuesto varias extensiones de estos trabajos. Recientemente, se ha presentado una mejora para funciones definidas sobre cuerpos finitos que preservan simetrías inducidas por acciones de grupo. El objetivo de este trabajo es analizar en detalle cómo la consideración de estas simetrías puede conducir a la obtención de nuevos principios de incertidumbre mejorados, utilizando equivalencias análogas al teorema de Chebotarev. Además, se obtiene un nuevo resultado para algunas simetrías particulares que provienen de subgrupos de índice 3.
On Whitney duals of geometric lattices.
(Pontificia Universidad Javeriana) Molina Giraldo, Andrés; González D'León, Rafael; Hallam, Joshua; Samper, José
The concept of Whitney duality was first introduced by Gonz\'al\'ez D'Le\'on and Hallam in \cite{GONZALEZDLEON2021105301}. Two graded posets are said to be Whitney duals if they have their Whitney numbers of the first and second kind interchanged modulo sign. This is an interesting property being the Whitney numbers of a graded poset an important invariant in poset theory with connections to other mathematical contexts. The Whitney numbers appear, for example, as coefficients of chromatic polynomials of finite graphs. In \cite{GONZALEZDLEON2021105301} the authors also gave an explicit construction for Whitney duals under certain conditions, through the technique of EW-labelings. Some edge labelings that already appeared in the literature were shown to be EW-labelings, one particular case being the minimal edge labelings of geometric lattices introduced by Stanley. In this work we study specifically the Whitney duals of geometric lattices that arise from minimal EW-labelings. Since geometric lattices are in bijective correspondence to finite simple matroids, we aim to understand the construction of the Whitney duals only in terms of the information contained in an ordered matroid $(M,\omega)$, where $M$ is a simple matroid and $\omega$ is a total ordering of the ground set. To an ordered matroid one can associate its non-broken circuit complex (or NBC complex) as it was introduced by Bj\"orner in \cite{björner_1992}. We show that the Whitney dual corresponding to a minimal labeling of a geometric lattice can be described as a particular subposet of the NBC complex of its associated ordered matroid. More precisely, the subposet of the NBC complex formed by all the NBC sets and whose cover relations are determined by the removal of internally active elements on an NBC set is a Whitney dual to the lattice of flats of a matroid. % More specifically, it begins by giving a brief summary of necessary concepts to understand matroids and geometric lattices, as given in \cite{oxley2011matroid} and \cite{stanley2000enumerative}. Then, through the concept of NBC complexes given by Björner in \cite{björner_1992}, it proves that Whitney duals of geometric lattices formed through a special kind of Whitney labeling called minimal labeling can be described in terms of their corresponding matroid. Using this description we implement an algorithm using \href{http://www.sagemath.org/}{\textsc{Sagemath}} to construct the Whitney dual of the lattice of flats of an ordered matroid. We use this implementation to prove computationally that Whitney duals from different minimal labelings of a geometric lattice are not necessarily isomorphic. We compute the specific isomorphism classes (which here we refer as to atom ordering classes) of Whitney duals corresponding to minimal labelings for particular examples of matroids. In particular we determine that the Fano matroid has $5$ atom ordering classes and the non-Fano matroid has $42$ such classes.
Impacto de la pandemia sobre la bancarización en Colombia : análisis geométrico de datos
(Pontificia Universidad Javeriana) Salas Guerrero, Valeria; Fierro Oroza, Diana Marina; Plazas Vargas, Jorge Andres; Salazar Saenz, Jose Mauricio
En este trabajo se busca entender cuál fue el impacto de la pandemia del COVID-19 sobre la bancarización de las personas naturales en Colombia. Para poder estimar el impacto, primero se construye un índice de bancarización usando el método de análisis de componentes principales. En este estudio dicho método se ve enmarcado dentro del contexto del análisis geométrico de datos en el cual la reducción de la dimensión de un conjunto de datos, minimizando la pérdida de información, juega un papel fundamental. Una vez creado el índice, se usa el modelo de efectos fijos para estimar el efecto de la pandemia sobre este. Se encontró que la pandemia tuvo un efecto positivo sobre la bancarización en Colombia. Además, la pandemia también tuvo un efecto positivo sobre los depósitos, el crédito y el número de oficinas y empleados, por separado. Finalmente, se encuentra que los departamentos que acumulan la mayoría de servicios financieros son Bogotá, Antioquia y Valle del Cauca. El efecto de la pandemia fue mayor para estos departamentos que para el resto del país.
Equations over finite fields : Zeta function and Weil conjectures
(Pontificia Universidad Javeriana) Neira Lopez, Santiago; Ochoa Arango, Jesus Alonso; Plazas Vargas, Jorge Andrés; Rodríguez, Juan Esteban; Bermúdez Tobón, Yamidt
This work is a review of the congruent zeta function and the Weil conjectures for non-singular curves. We derive an equation to obtain the number of solutions of equations over finite fields using Jacobi sums in order to compute the Zeta function for specific equations. Also, we introduce the necessary algebraic concepts to prove the rationality and functionality of the zeta function.
Una introducción a las funciones simétricas
(Pontificia Universidad Javeriana) Avendaño Castellanos, Diego Sebastian; Pariguan Martinez, Eddy Josefina
En éste trabajo se presenta la construcción de las funciones simétricas y propiedades que relacionan sus diferentes familias.
The ternary Goldbach problem
(Pontificia Universidad Javeriana) Delgado Pérez, Christian Fernando; Chacón Cortés, Leonardo Fabio; Plazas Vargas, Jorge Andrés
La conjetura débil de Goldbach afirma que \emph{todo número impar mayor que $5$ puede escribirse como suma de tres números primos}. En el año 2013, el matemático peruano Harald Helfgott dio una demostración completa de la conjetura, haciendo avances cualitativos sobre la base del método del círculo, la criba grande y sumas exponenciales. Claro está, siguiendo el trabajo de Hardy--Littlewood y de Vinogradov, con una perspectiva actual. En este ejercicio académico, buscamos aproximarnos al trabajo de Helfgott: las estimaciones mejoradas de sumas exponenciales, una criba grande optimizada para primos, etc. Lo anterior para ver una estimación mejorada de la integral sobre los arcos menores que viene del método del círculo, la cual prueba la conjetura.
A column-generation-based approach for solving the bus rapid transit route design problem
(Pontificia Universidad Javeriana) Cardona Ramírez, Ernesto; Ortiz Astorquiza, Camilo; Gonzalez Jurado, Jaime; Rocha, Caroline; Novoa Ramírez, Jesús Fernando
Bus rapid transit systems have been gaining popularity all over the world. They constitute an alternative for urban transportation systems by providing reserved lanes for buses and thus improving transportation times. Nonetheless, there are several intrinsic strategic and operational problems that need to be addressed. In this work we focus on developing mathematical and computational tools to support the problem of designing the routes to be operated on the system and their frequencies. This document is composed of two chapters. In the first chapter, we present the preliminary topics that are required to have a better understanding of the subsequent sections. This chapter is divided into four sections containing topics on convex analysis, Linear, Integer and Combinatorial Optimization, Solution Methodologies and Complexity Theory. In the second chapter, we present the main results of the capstone project in the format of a research article. In particular, we present the literature review, problem definition and a new formulation for the Bus Rapid Transit Route Design Problem. Then, we introduce a column-generation-based approach to solve large-scale instances of the LP relaxation of the formulation and show some computational experiments to test the proposed approach.
Optimización dinámica aplicada al análisis de balance de flujo de redes metabólicas
(Pontificia Universidad Javeriana) Martínez Guarnizo, Julian Camilo; Vargas Domínguez, Andrés; Clavijo Buritica, Diana Carolina; Chacón Cortés, Leonardo Fabio
Una red metabólica es el conjunto de reacciones bioquímicas presentes en una célula. Las redes metabólicas se pueden modelar a través de métodos como el análisis de balance de flujo dinámico (DFBA, por sus siglas en inglés Dynamic Flux Balance Analysis) el cual consiste en resolver un problema de optimización dinámica. En este trabajo se explican algunos métodos para resolver problemas de optimización dinámica de forma numérica como lo es método de disparo múltiple directo y el método de colocación ortogonal aplicado a problemas de optimización dinámica. Estos métodos se basan en discretizar las variables de estado y las variables de control y resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) en subintervalos del horizonte de tiempo para posteriormente resolver un problema de programación no lineal (NLP, por sus siglas en inglés Non–Linear Programming). Entre los métodos más usados para resolver las EDOs está el método de colocación en elementos finitos y sus variaciones mientras que para resolver el NLP se utiliza más frecuentemente el método de programación cuadrática secuencial (SQP, por sus siglas en inglés Sequential Quadratic Programming) y debido a que ambos métodos son útiles para la solución de problemas de optimización dinámica, ambos fueron introducidos a lo largo del documento. Adicionalmente, el método de colocación ortogonal aplicado a problemas de optimización dinámica se utilizó para modelar una red metabólica con 4 metabolitos y 8 reacciones utilizando una rutina en el lenguaje R. El modelamiento se realizó planteando el problema de optimización dinámica asociado a la red metabólica para después discretizarlo y obtener un NLP que pudiera resolverse en R. Los resultados simularon un escenario biológico real en el cual se consumen metabolitos como la glucosa y el oxígeno para producir biomasa.
Una introducción a los números p-ádicos, su aritmética y algunas simulaciones en python
(Pontificia Universidad Javeriana) Baquero Acevedo, Edgar Steven; Chacón Cortés, Leonardo Fabio; Vargas Domínguez, Andrés
En este trabajo explicaremos algunas nociones básicas de análisis en espacios ultramétricos, en particular en el cuerpo de números p-ádicos. De esta manera mostraremos una representación visual de los mismos, con el fin de desarrollar un paquete amigable que pueda ser implementado por científicos para hacer cómputo p-ádico (por ejemplo en la codificación de información) y desarrollar simulaciones de ecuaciones presentes en sistemas complejos.
Introducción a la teoría geométrica de groups
(Pontificia Universidad Javeriana) Rodríguez Quinche, Juan Felipe; Velásquez Méndez, Mario Andrés; Vargas Domínguez, Andrés
El propósito de este documento es introducir conceptos de un área de las matemáticas conocida como teoría geométrica de grupos que desarrolla el estudio de grupos finitamente generados, explorando la conexión entre las propiedades algebraicas de estos con las propiedades geométricas y topológicas de los espacios en los que actúan. El documento consta de tres capítulos agrupados en dos partes, la primera parte se compone de los capítulos uno y dos, donde el objetivo es dar a los grupos una representación como espacios métricos y darles propiedades geométricas, como métricas, geodésicas, caminos, etc. Para esto, utilizamos herramientas importantes como los Grafos de Cayley y las funciones de crecimiento. Además, estudiamos dos ejemplos explícitos que son el Grupo Lamplighter L_2 y el Grupo F de Thompson, donde se puede evidenciar el potencial de estas herramientas en el estudio de grupos infinitos. La segunda parte (tercer capítulo), hace una introducción a una relación muy interesante entre espacios métricos conocidos como cuasi-isometrías y el Lema Švarc-Milnor, que utiliza los conceptos dados en la primera parte para relacionar grupos generados finitamente con espacios métricos, dando también propiedades e ideas importantes para clasificar estos grupos hasta cuasi-isometrías.
La paradoja de Banach-Tarski y teoría de grupos
(Pontificia Universidad Javeriana) Ariza Sánchez, David Leonardo; Velásquez Méndez, Mario Andrés; Chacón Cortés, Leonardo Fabio
El propósito de este trabajo de grado será dar una introducción a la teoría de grupos amenables. En el primer capítulo se estudiará la paradoja de Banach-Tarski, que más adelante se volvería en el ejemplo pionero de lo que un grupo amenable no debe permitir. En el segundo capítulo, se recreará la prueba de Tarski que da una primera definición de grupo amenable, junto con algunas propiedades clausurativas. Para el tercer capítulo se usarán herramientas de ánalisis funcional para dar una nueva caracterización de grupos amenables y poder dar algunos ejemplos concretos. Finalmente, en el cuarto capítulo se dará una definición en términos de las C^{*} algebras, importantes para estudiar las algebras de Von-Neumann.
The riemann zeta function
(Pontificia Universidad Javeriana) Carrillo Santana, Sebastián; Bogoya Ramírez, Johan Manuel; Ramos Fernández, Julio César
El propósito de este trabajo de grado es dar una breve introducción a la función Zeta de Riemann, explorando sus principales propiedades como lo son su continuación analítica, fórmula de reflexión y estudiar los ceros de dicha función.
Eigenvalues of a Hessenberg-Toeplitz matrix
(Pontificia Universidad Javeriana) Gasca Arango, Juanita; Bogoya Ramírez, Johan Manuel; Vargas Domínguez, Andrés
Una matriz de Hessenberg Toeplitz es un tipo especial de matriz cuadrada que es “casi” triangular, estás matriz tiene ceros en las entradas sobre la primera superdiagonal, cada diagonal descendente de derecha a izquierda es constante y las entradas son coeficientes de Fourier de una función diferenciable definida en los complejos, esta función es conocida como el símbolo de la matriz. En el siguiente trabajo estudiaremos los valores propios de una matriz de Hessenberg Toeplitz cuyo símbolo tiene problemas de diferenciación en un punto específico, por esta razón lo dividiremos en dos casos, valores propios lejos del origen del plano complejo (valores propios internos) y valores propios cercanos al origen del plano complejo (valores propios externos) . En conclusión, se obtuvo una correspondencia unívoca entres los valores propios y algunos elementos del dominio de la extensión del símbolo, también para los valores propios internos hay una relación entre las raíces n-ésima de la unidad, y para los valores propios extremos hay una relación entre los ceros de una función analitica, así solo es necesario encontrar una única vez estos ceros. Para los valores propios, sin importar el caso (internos o externos), se va a dar una aproximación la cual solo depende el tamaño de la matriz y de sus respectivas relaciones ya mencionadas, más aún podemos aproximar los vectores propios. Es importantes resaltar que no depende del tamaño de la matriz, puede tomar valores grandes como el número de Avogadro.
Funciones multisimétricas y politopos de transporte
(Pontificia Universidad Javeriana) Sierra Vargas, Jhoan Sebastian; Pariguán Martínez, Eddy Josefina; Benedetti Velasquez, Carolina
Los politopos son objetos combinatorios presentes en diversas ramas de las matemáticas. En este trabajo realizamos un estudio de la estructura de politopos de transporte presente en el anillo de funciones multisimétricas, particularmente en la regla del producto de dichas funciones. Los resultados más importantes se obtienen examinando las matrices que aparecen en dicha regla pensándolas como politopos de transporte. El primer resultado nos dice que estas matrices se puede descomponer como la unión disjunta de puntos de politopos de transporte de 2 vías clásicos, el segundo resultado muestra una cota superior para dicho conjunto con margenes fijas y tamaño variable. El ultimo resultado afirma que cada elemento de la descomposición que aparece en el primer resultado se pueden representar como las soluciones a un sistema de ecuaciones lineales. Finalmente se hacen referencias a distintas aplicaciones de estos nuevos objetos y se plantean temas abiertos para trabajar en el futuro.
Deformation theory of Galois representations
(Pontificia Universidad Javeriana) Rodríguez Camargo, Juan Esteban; Plaza Vargas, Jorge Andrés; Mantilla Soler, Guillermo Arturo
Este documento pretende exponer la teoría de deformaciones de representaciones introducida por Barry Mazur a finales de los 80’s. Adicionalmente se menciona su relación con representaciones de Galois y la prueba de Andrew Wiles del Teorema de Modularidad, también conocido como la conjetura de Taniyama-Shimura.
Algebrización del Teorema de Hammersley-Clifford
(Pontificia Universidad Javeriana) Bernal Guevara, Aura Juliana; Ochoa Arango, Jesús Alonso
Se planteará una reformulación del teorema de Hammerslye-Clifford utilizando el lenguaje del álgebra conmutativa y las variedades afines.
Commutative algebra and some results in algebraic geometry
(Pontificia Universidad Javeriana) Luque Duque, Daniel Felipe; Graña Otero, Beatriz
Se estudian los anillos Noetherianos, variedades algebraicas aﬁnes y resultados importantes de ellos, como el Teorema de los ceros de Hilbert (Nullstellesatz), el cual nos da una correspondencia entre conjuntos algebraicos e ideales de un anillo de polinomios. También se estudia la dimensión de Krull, la dimension de los conjuntos algebraicos y como se relacionan estos dos conceptos. Finalmente, construimos el famoso ejemplo de Nagata de un anillo Noetheriano inﬁnitodimensional.
Aritmética de cuerpos de números. Álgebra conmutativa y teoría de Galois
(Pontificia Universidad Javeriana) Prieto Martínez, Camila Alexandra; Plazas Vargas, Jorge Andrés
Los cuerpos de números son los objetos centrales de la teoría de números. Los posibles análogos del teorema fundamental de la aritmética en los anillos de enteros de estos cuerpos nos trasladan a pensar, ¿cómo y bajo que condiciones se tiene factorización de ideales como producto de ideales primos?. En esta charla discutiremos las propiedades esenciales que como anillos satisfacen los enteros en un cuerpo de números, las propiedades de las extensiones del cuerpo de los racionales y los ejemplos mas naturales de dichas propiedades. Las herramientas del álgebra conmutativa, la teoría de números y la teoría de Galois nos dan un marco teórico dentro del cual es posible explorar estas propiedades, para finalizar con una ilustración clara del teorema de Kronecker-Weber.
Some geometric aspects of Ricci flow's role in Poincaré's Conjecture
(Pontificia Universidad Javeriana) Gil Gallego, Santiago; Vargas Dominguez, Andrés; Martinez Alba, Nicolás; Plazas Vargas, Jorge
En éste trabajo se presentan brevemente algunas propiedades geométricas basic del flujo de Ricci usadas para entender el papel que jugó éste flujo en la prueba de la conjetura de Poincaré.
Amalgam decomposition and cohomology of the group SL_2(Z) and the Bianchi groups
(Pontificia Universidad Javeriana) Muñoz Ramírez, David Esteban; Velásquez Méndez, Mario Andrés; Combariza González, Germán Andrés
Este trabajo de grado contiene un par de ejemplos de cómo los grupos de cohomología de ciertos grupos de matrices se pueden calcular usando su descomposición como producto amalgamado y, la relación entre esos grupos y sus espacios clasificantes correspondientes. El documento está dividido en dos partes. La primera parte describe un método geométrico para probar que el grupo especial lineal SL_2(Z) es un producto amalgamado de grupos cíclicos, usando la acción del grupo sobre el plano hiperbólico. Luego, usamos esta descomposición y una sucesión exacta larga de Mayer-Vietoris para calcular los grupos de cohomología de este grupo. La segunda parte del trabajo de grado trata con grupos de Bianchi, que son definidos como PSL_2(O_d), donde O_d es el anillo de enteros de una extensión cuadrática imaginaria del cuerpo de los números racionales. La descomposición en amalgama de unos grupos particulares, los grupos de Bianchi Euclideanos, es dada, y concluimos con el cálculo de los grupos de cohomología del grupo Gamma_1=PSL_2(O_1).
Information Geometry applied to action classification
(Pontificia Universidad Javeriana) Millan Arias, Pablo Andrés; Vargas, Andrés; Barajas, Martín
El trabajo presenta un marco unificado que le permitirá al lector comprender de una manera detallada y completa la técnica de los Vectores de Fisher que se utiliza para dar solución al problema de clasificación de actividades en video, esta técnica se basa en conceptos de la Geometría de la Información, de manera que toda la teoría se incluye en el trabajo. Se presentan además los resultados obtenidos sobre una base de datos que contiene acciones llevadas a cabo en ambientes similares y se prueba que la técnica es eficiente.
Introducción al problema de los n-cuerpos en espacios de curvatura constante
(Pontificia Universidad Javeriana) Daza Alfonso, Sebastián Camilo; Vargas Domínguez, Andrés; Martinez Alba, Nicolás
En este documento se habla de la interacción de n partículas puntuales de masas no necesariamente iguales sujetas a la ley de gravitación universal planteada por Newton. Se da una generalización del planteamiento del problema en espacios de curvatura constante. Para el estudio de este sistema se trabajan dos enfoques: Lagrangiano y Hamiltoniano.El enfoque Lagrangiano nos da una idea de cómo la naturaleza escoge el camino que minimiza el funcional de acción asociado al Lagrangiano.Por otra parte el enfoque Hamiltoniano nos permite encontrar cantidades conservadas a lo largo de las soluciones. Finalmente se muestra un tipo de solución particular a este problema llamada solución en equilibrio relativo. Se muestra su existencia bajo ciertas condiciones y las trayectorias que describirán.
Style transfer with convolutional neural networks
(Pontificia Universidad Javeriana) Moreno Ramírez, Luis Fernando; Combariza González, Germán Andrés; García Peña, Marisol
El objetivo principal de esta tesis es analizar un algoritmo conocido como Neural Style Transfer el cual consiste en transferir estilos artísticos de pintores reconocidos como Vincent Van Gogh, Claude Monet, entre otros pintores a cualquier imagen. Para este propósito, se divide este trabajo en tres capítulos para explicar el funcionamiento de Neural Style Transfer. En el capítulo 1, se revisan los requisitos previos necesarios para el algoritmo del álgebra lineal, probabilidad, calculo vectorial y matricial. En el capítulo 2, se explican los conceptos del aprendizaje automático como aprendizaje supervisado, regresión, clasificación, underfitting y overfitting y el algoritmo del gradiente descendente para familiarizar al lector con el concepto de red neuronal. En el capítulo 3, se analiza el problema de clasificación a través de clasificación lineal mediante mínimos cuadrados y perceptrón, y la clasificación no lineal a través de redes neuronales, que es un algoritmo del aprendizaje automático utilizado hoy en día para realizar reconocimiento de patrones y conducción autónoma. Para finalmente explicar, cómo funciona el algoritmo de Neural Style Transfer.
Algorithms for Lossy Compression
(Pontificia Universidad Javeriana) Gómez Romero, Juanita; Combariza, Germán; Florez, Leonardo
El objetivo principal de esta tesis es proporcionar una visión general de los diferentes métodos de compresión de datos. Actualmente, la información se comparte en todo el mundo, incluso en el espacio exterior, a excelentes velocidades, y la demanda de métodos más eficientes y calificados para comprimir datos es crucial. Hacer los archivos más pequeños puede representar un ahorro significativo en almacenamiento y tiempo, siendo fundamental para el comportamiento adecuado de cada aplicación computacional. Aunque los métodos sin pérdida proporcionan fidelidad garantizada, sus tasas de compresión no son comparables con lo que se puede lograr a través de métodos con pérdida que tienen en cuenta la probabilidad, la redundancia y la percepción humana. El objetivo de este proyecto es presentar algunos de los métodos de compresión con pérdida que se utilizan actualmente, como la transformada de Haar, la transformada de Fourier y la aproximación matricial de bajo rango, y cómo se pueden implementar en la compresión de imágenes.
Transformada de Radon y su inversión
(Pontificia Universidad Javeriana) Lozano Penagos, Juan Sebastián; Silva Rafeiro, Humberto Gil; Chacón Cortés, Leonardo Fabio
Se introducen las coordenadas polares generalizadas y las funciones Gamma y Beta, estudiaremos las integrales y derivadas fraccionarias para posteriormente usarlas en el desarrollo de una fórmula de inversión para la transformada de Radon. Introduciremos el Laplaciano fraccionario para motivar nuestro estudio sobre los potenciales de Riesz, calcularemos su transformada de Fourier y hablaremos brevemente sobre el espacio de Lizorkin, el cuál será, un subespacio del espacio de Scwhartz invariante bajo la acción del potencial de Riesz. Estudiaremos la transformada de Radon en el espacio tridimensional, hallaremos su transformada de Fourier y una fórmula de inversión para la transformada de Radon, esta estará escrita en términos del operador Laplaciano y la transformada dual de Radon. Para el caso general primero mostraremos que la transformada de Radon conmuta con movimientos rígidos del espacio euclideano, lo cuál, nos permite reducir el problema de inversión a funciones radiales pertenecientes al espacio de Schwartz. En el caso de funciones radiales hallaremos una fórmula de inversión usando integrales fraccionarias e integración polar. Para funciones arbitrarias perteneciendo al espacio de Schwartz usaremos la integración sobre el grupo especial ortogonal y su relación con la integración sobre la esfera para hallar una fórmula de inversión usando el caso radial. Finalmente, introduciremos la transformada dual de Radon y usaremos los potenciales de Riesz para escribir a la transformada inversa de Radon en términos de potencias fraccionarias del operador Laplaciano
Classification of rank 1 and 2 affine homogeneous distributions on 3-manifolds
(Pontificia Universidad Javeriana) Devia Pinzón, Carlos Andrés; Vargas Domínguez, Andrés; Ochoa, Jesús
El trabajo presenta la clasificación de distribuciones homogéneas estrictamente afines de rango 1 y 2 en variedades de dimensión 3. El método de clasificación usado fue el Método de Reducción de Cartán.
Continuity of the asymptotic spectra for Toeplitz matrices
(Pontificia Universidad Javeriana) Castro Anaya, Laura Andrea; Bogoya Ramírez, Johan Manuel
En este Trabajo de Grado, consideramos los espacios de Hilbert L^2(T) y l^2(Z), y los relacionamos mediante un isomorfismo isométrico el cual llamamos la transformada de Fourier. Es importante conocer las matrices de Toeplitz y el Lema de Coburn que nos indica cómo determinar el espectro de un operador de Toeplitz. Con estos preliminares iniciamos el estudio del artículo Asymptotic spectra of dense Toeplitz matrices are unstable , para un símbolo continuo en el círculo unitario complejo construimos su matriz de Toeplitz. Luego, diferentes truncamientos de esta matriz infinita nos permiten hallar los respectivos valores propios mediante cálculos computacionales. La convergencia de los espectros asintóticos varía haciendo pequeñas perturbaciones al símbolo, esto demuestra que no hay convergencia en la métrica de Hausdorff.
Introducción al cálculo cuántico e integrales de Jackson
(Pontificia Universidad Javeriana) Bolaños Núñez, Sara Alejandra; Pariguan, Eddy Josefina
En este trabajo se introducen los conceptos básicos del cálculo cuántico, y con la ayuda de las integrales de Feynman Jackson construimos un q-análogo para los momentos de la medida de Gauss. Estos q-análogos establecen un puente entre la teoría combinatoria y teoría de la medida. Finalmente presentamos una interpretación combinatoria para el q-análogo de la medida de Gauss.
Producto cuántico entre funciones simétricas
(Pontificia Universidad Javeriana) Gnecco Heredia, Lucas; Pariguan, Eddy Josefina
Las funciones simétricas presentan resultados de interés para diversas áreas de la matemática. Una generalización de estos objetos son las funciones multi simétricas, que serán el objeto de estudio del presente trabajo. El espacio de funciones multi simétricas puede considerarse como el espacio de funciones en el cociente (R)n/sn, que hereda una estructura de variedad de Poisson. Debido a este último hecho (R)n/sn, permite una cuantización por deformación, que en nuestro contexto veremos como la posibilidad de definir un producto estrella asociativo y no conmutativo, denotado *. Este producto, trabajado por Diaz y Pariguan, permite una descripción explícita y su cálculo involucra varias propiedades combinatorias de interés. En el trabajo se incluyen secciones sobre funciones simétricas, geometría simplectica y de Poisson y cuantización por deformación. Como producto del trabajo se creó un programa para calcular y dar ejemplos de este producto estrella y se lograron encontrar mejoras para el cálculo del mismo. Se muestran el código desarrollado, ejercicios de simulación de tiempo de ejecución y también conjeturas que nacieron como conclusión del trabajo.
Influencias indirectas en pensum académicos
(Pontificia Universidad Javeriana) Martínez Páez, Johanna Andrea; Pariguán Martínez, Eddy Josefina
"Proveniente del lat n Universitas: \Comunidad"", la universidad constituye un entorno en el que se re unen diferentes tipos de personas, de edades y expectativas de vida diversas, dando como resultado un universo realmente completo. La universidad se funda actualmente como una instituci on de educaci on superior con capacidad de otorgar grados acad emicos, que queriendo atender cada vez m as a su idea de \universidad"" ha ido desarrollando con el paso de los años diferentes programas de estudio (com unmente llamados carreras universitarias), con el n de que las personas graduadas de los colegios con el t itulo de bachiller, pudieran acceder a ellos y emprender su proyecto de vida. Al pasar de los años, no solamente van surgiendo m as opciones para escoger, sino que los avances permiten incluir nuevas materias de estudio, actualizar contenidos de las existentes y eliminar del plan de estudios aquellas que no se adaptan a los cambios globales. En el contexto de la Ponti cia Universidad Javeriana, se han desarrollado 39 carreras de las cuales todos pueden obtener informaci on en cualquier momento del año. Junto a esto existe el festival Expojaveriana, donde los asistentes reciben informaci on detallada sobre cada programa y tienen la posibilidad de hacer preguntas especificas a estudiantes de ciclos lectivos anteriores."
Campos vectoriales tipo Killing en geometría Ruemanniana
(Pontificia Universidad Javeriana) Clavijo Hernández, Paola Andrea; Vargas Domínguez, Andrés
En geometría Riemanniana, los vectores de Killing y las isometrías fueron inicialmente estudiados desde un punto lo cal, es decir, se estudiaban sus propiedades en vecindades y entornos de algún punto del espacio. Posteriormente se hizo énfasis en estudiar las propiedades globales de estos campos y su relación con la geometría del espacio en cuestión. Estos análisis, permitieron obtener importantes resultados en la física, en particular en relatividad general, para entender la geometría del espacio-tiempo. Observando la importancia para la geometría de los campos de Killing, surge el propósito de este trabajo de grado, cuyo objetivo es hacer uso de los conceptos básicos de la geometría Riemanniana para realizar un estudio de estas estructuras. Para llevar a cabo o lo anterior, se proponen los siguientes objetivos específicos : Comprender y utilizar conceptos fundamentales tanto algebraicos y geométricos como son los grupos y ´algebras de Lie, las derivadas de Lie, las métricas y conexiones Riemannianas, las curvaturas , las aplicaciones conformes e isométricas y las geodésicas, entre otros. Estudiar las definiciones y propiedades de camp os vectoriales especiales en variedades Riemannianas. En particular, los camp os vectoriales de Killing y de Killing conformes y sus relaciones con las estructuras geométricas que preservan. Este documento inicia con una breve descripción histórica de los campos vectoriales de Killing, continuando con una introducción de definiciones y conceptos preliminares, para, en los dos últimos capítulos analizar los campos vectoriales de Killing y de Killing conformes, sus propiedades, caracterizaciones, teoremas importantes y algunos ejemplos.
El modelo CreditRisk+
(Pontificia Universidad Javeriana) Bayona Rodríguez, Hernando; Plazas, Jorge Andrés
El principal objetivo de la modelación del riesgo _financiero es estimar la distribución de pérdidas de los portafolios y de esta manera poder calcular, bajo cierto nivel de confianza, diversas medidas de riesgo tales como Perdidas Esperadas (PE), Valor en Riesgo (VaR) y Valor en Riesgo Condicionado (cVaR) o Expected Shortfall (ES). En el caso particular de riesgo de crédito, el modelo CreditRisk+ (CR+) es uno de los más empleados. Además ha sido objeto de numerosos estadios. Este documento presenta con detalle el modelo CR+ estándar al que se le agrega una mixtura de Polisón con el objeto de incluir facto- res de riesgo sistémico. Adicionalmente, se desarrolla el modelo CR+ usando la trasformada de Fourier y se presenta una implementación del modelo vía transformada Rápida de Fourier (FFT).
Álgebras de Lie solubles de baja dimensión
(Pontificia Universidad Javeriana) Jaramillo Serna, Manuela; Ochoa Arango, Jesús Alonso
El trabajo desarrolla conceptos relacionados a la teoría de álgebras de Lie, lemas y herramientas para la construcción y demostración del teorema de Levi, y presenta un algoritmo para obtener una clasificación de álgebras de Lie solubles a partir de una extensión, junto con la aplicación de este algoritmo a los casos de dimensión dos y tres.
Introducción gráfica a las superálgebras de Lie clásicas
(Pontificia Universidad Javeriana) Ruiz Restrepo, Daniel; Pariguán Martínez, Eddy Josefina
En el presente trabajo de grado se utiliza una representación gráfica novedosa para estudiar las superálgebras de Lie clásicas. Esta representación gráfica es tomada del artículo de Eddy Pariguán y Rafael Díaz denominado Graphical introduction to classical Lie algebras y es adaptada a los nuevos espacios de interés: las superálgebras de Lie. A pesar de que este trabajo tenga como conclusiones resultados ya conocidos, la representación gráfica es elemental y fácil de utilizar, por lo que proporciona una herramienta eficaz para realizar los cálculos con las superálgebras de Lie clásicas. Inicialmente, se busca introducir al lector a los conceptos básicos de álgebras de Lie. Luego, se muestran los conceptos de superálgebras y superálgebras de Lie junto con la representación diagramática. Para finalizar, se realiza el estudio de las superálgebra de Lie Lineal especial y la familia de la superálgebras de Lie Ortosimpléctica por medio de los grafos mencionados.
Determinismo en el plano complejo
(Pontificia Universidad Javeriana) Ramírez Arévalo, Arnol Yosed; Chacón Pérez, Gerardo Román
Para el desarrollo de este trabajo se implementó una herramienta en la aplicación WPF (Windows Presentation Foundation), en la que se pueden realizar experimentos numéricos con la cual se intenta visualizar subconjuntos de Julia y Fatou en donde la dinámica tenga el mismo comportamiento, para lograr esto se aplicaron técnicas de análisis no linear de tiempo y se desarrollaron los respectivos algoritmos para estudiar el determinismo tanto para funciones iteradas como para un semigrupo de funciones.
Conjuntos con órbita acotada para semigrupos de funciones analíticas
(Pontificia Universidad Javeriana) Fang Fernández, Andrés Felipe; Colucci, Renato; Chacón Pérez, Gerardo Román
Principios y fundamentos para entender la dinámica compleja en semigrupos y realizar una visualización de la órbita acotada en un punto para semigrupos de funciones analíticas.
Combinatoria algebraica funciones simétricas y multisimétricas
(Pontificia Universidad Javeriana) Ortiz Muñoz, David; Pariguán Martínez, Eddy Josefina
La idea es presentar el anillo de funciones multisimétricas y enunciar el teorema de la fórmula del producto para funciones multisimétricas elementales que presenta Francesco Vaccarino en su artículo The ring of multisymmetric functions en el año 2005. Se inicia con un capítulo de preliminares con resultados básicos de teoría de grupos tales como acciones de grupos sobre conjuntos finitos y el grupo simétrico en n letras. Después se habla sobre teoría de Polya, seguido de la presentación de las funciones simétricas clásicas: monomiales, homogéneas, elementales y tipo Schür. Para las funciones tipo Schür se dedica una sección a las tablas de Young. Toda definición va acompañada de ejemplos y los resultados matemáticos tienen su respectiva demostración.

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