Maestría en Matemáticas
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Ítem Geodesics on Riemannian manifolds defined by the parameter space of Artificial Neural Networks(Pontificia Universidad Javeriana) Vergara Duque, Diego Alejandro; Vargas Domínguez, Andrés; Chacon Cortes, Leonardo Fabio; Caicedo Dorado, AlexanderArtificial Neural Networks (ANNs) are becoming increasingly important in machine learning and artificial intelligence due to their ability to uncover complex relationships in data, regardless of its structure. While various methods, primarily based in gradient descent optimization, have been developed for training ANNs, these methods are applied in Euclidean space, which imposes certain limitations due to its flat geometry. To overcome these limitations, this thesis explores the use of Riemannian manifolds (called Neuromanifolds), equipped with the Fisher information metric derived from the parameters of an ANN. This topological space allows for the definition of geodesics, which represent potential optimisation paths for training ANNs. The thesis studies the properties of geodesics on Neuromanifolds to propose a method for establishing the optimal parameter set that minimises the prediction error of an ANN. This approach incorporates statistical and probabilistic properties of ANN models to appropriately define a Riemannian manifold based on the general Fisher metric, reflecting the structure of the network. The proposed training method is developed through approximations based in mathematical statistics and numerical methods and is evaluated on a dummy dataset to assess its effectiveness and potential for real-world applications.Ítem Métodos determinísticos y estocásticos para la estimación de la reserva IBNR(Pontificia Universidad Javeriana) Acosta Buitrago , Catalina; Moreno Gutierrez , Vladimir; Cipaguata Lara , Ana Paola; González Guevara, CamiloEn orden a la preservación de la solvencia de una compañía de seguros, es muy importante estimar con precisión sus futuras reservas obligatorias. El objetivo principal de esta tésis es determinar las reservas IBNR, Incurred But Not Reported, para el ramo de automóviles utilizando los modelos estocásticos Bornhuetter-Ferguson, Generalised Linear Model, y Cape-Cod. En el desarrollo de estás modelos ha sido necesario incluir el método de Chain-Ladder, modelo deterministico ampliamente utilizado en la práctica de las compañías de seguros, con el propósito de establecer relaciones y comparaciones con los modelos estocásticos.Ítem On combinatorial algorithms of linked diagrams and labeled connected graphs(Pontificia Universidad Javeriana) Suárez Ramírez, Brahayan Xavier; González D'León, Rafael Santiago; Tamayo Jiménez, Daniel; Salamanca Valencia, Edward JuliánLa presente investigación está dedicada a la exploración de algoritmos combinatorios, con un enfoque específico en diagramas enlazados y grafos conexos etiquetados. Utilizando algoritmos implementados en Clojure, llevamos a cabo tanto la enumeración como la generación de estos objetos. Además, empleamos herramientas del análisis de algoritmos y la combinatoria analítica para construir formalmente los objetos relacionados, lo que nos permite obtener una comprensión detallada de su comportamiento en términos de complejidad temporal.Ítem Metric connections on Dirac structures(Pontificia Universidad Javeriana) Alejo Rincón, Valentina; Vargas Domínguez, Andrés; Contreras Palacios, Iván; Salazar, Maria AmeliaLas estructuras de Dirac son una generalización de las variedades Simplécticas y de Poisson que utiliza el haz tangente generalizado: TM+T*M, de una variedad base M y se caracteriza por ser una clase cerrada bajo pullbacks y pushforwards. En este trabajo se presentan los preliminares del tema, y a continuación, se estudian condiciones de compatibilidad entre esta estructura y una métrica Riemanniana en la variedad base, por medio de una conexión mixta (covariante y contravariante) actuando sobre secciones del tangente generalizado. Como parte del trabajo se presentan algunos cálculos explícitos detallados de varios ejemplos en el caso de Poisson y la forma que toman las condiciones de compatibilidad en estos casos.Ítem Fluid Dynamics : a Journey through Navier-Stokes, Burgers, and the Adomian Decomposition Method(Pontificia Universidad Javeriana) González Ahumada, Andrés Javier; Moreno Gutierrez, Vladimir; Chacón Cortés, Leonardo Fabio; Obregón Neira, NelsonEsta tesis profundiza en el estudio de la dinámica de fluidos a través del marco matemático de las ecuaciones de Navier-Stokes, proporcionando información sobre la turbulencia y sus diversas aplicaciones. La investigación avanza hacia la ecuación de Burgers, explorando varios casos mediante métodos de transformación. El análisis destaca el contexto histórico y los desarrollos teóricos en torno a estas ecuaciones, allanando el camino para conectarlas con el relativamente reciente e interesante método de descomposición de Adomian para su solución. Notablemente, la exploración revela conexiones inesperadas con los números de Catalán y Schröder, arrojando luz sobre las estructuras matemáticas subyacentes en la dinámica de fluidos.Ítem Operadores definidos por matrices infinitas en espacios de sucesiones(Pontificia Universidad Javeriana) Quevedo Enciso, Helen Lorena; Ramos Fernández, Julio César; Chacón Cortés, Leonardo Fabio; Chaparro Gutierrez, Héctor CamiloEl enfoque principal de este trabajo estará en el estudio de algunos resultados relacionados con la continuidad y la compacidad del operador de Rhaly $R_a$ en los espacios de sucesiones $cs$, $h$, $\ell_1$, $c_0$ y $c$, así como del operador de diferencia generalizada $\Delta_{ab}$ en los espacios de sucesiones $bv_0$ y $cs$. Además, se presentará un nuevo criterio para la compacidad de los operadores de Rhaly y de diferencia generalizada en el contexto de los espacios $\ell_p$ de sucesiones.Ítem Un problema inverso doble(Pontificia Universidad Javeriana) Diaz Giraldo, David Alonso; Ochoa Arango, Jesús Alonso; Viana Bedoya, Natalia Andrea; Graña Otero, BeatrizEn este trabajo estudiamos dos problemas inversos. Uno de ellos: el problema inverso de Galois para extensiones finitas de C(t), el otro: el problema de existencia de Hurwitz. El primero está completamente resuelto. Vamos a revisar la demostración dada por Arno Fehm, Dan Haran y Elad Paran. Su estrategia radica en herramientas analíticas y de factorización de grupos. El segundo problema inverso no ha sido resuelto por completo, revisaremos algunas soluciones parciales realizadas por Ekaterina Pervova y Carlo Petronio durante los últimos años. Luego presentaremos el contexto donde un refinamiento del problema de existencia de Hurwitz y el problema inverso de Galois se encuentran. Demostraremos que los datos de Hurwitz no determinan el grupo de monodromía asociado. Para ello daremos un ejemplo en el cual un dato de Hurwitz es realizado por cubrimientos con grupos de monodromía que no son isomorfosÍtem Ela Laplaciano en la fibracion de Hopf(Pontificia Universidad Javeriana) Taylor Cerra, Valentina; Vargas Domínguez, Andrés; Polthier, Konrrand; Rodríguez Carreño, Juan SebastianEn este trabajo presentamos y aplicamos la teoría del operador de Laplace-Beltrami en variedades Riemannianas, para estudiar un Laplaciano asociado a la fibración de Hopf estándar S3 → S2 siguiendo la presentación dada por Bauer usando coordenadas reales. El objetivo es presentar cálculos explícitos del Laplaciano en la esfera 3 dimensional S3, del Laplaciano horizontal de la fibración S3 → S2 y del laplaciano correspondiente a los toros de Clifford, para estudiar su descomposición y espectro. También consideramos el grupo de simetrías de la fibración de Hopf (estudiado por Pinkall et. al.) y mostramos algunas características del comportamiento del Laplaciano con respecto a estas transformaciones.Ítem Utilizing Physics-Informed Neural Networks for Solving Forward Problems in Partial Differential Equations(Pontificia Universidad Javeriana) Delgado Perez, Christian Fernando; Chacón Cortés, Leonardo Fabio; Zambrano Luna, Brian Andrés; Gauthier Umaña, Cecile Eugenie GloriaLas Redes Neuronales Físicamente Informadas (PINNs, por sus siglas en inglés) representan una herramienta avanzada de aprendizaje profundo utilizada para la resolución numérica de problemas, especialmente aquellos relacionados con valores iniciales asociados a ecuaciones en derivadas parciales. El propósito de esta tesis es implementar el innovador método PINNs y algunas de sus variantes para abordar estos problemas, comparándolos con enfoques clásicos como los métodos de diferencias finitas. Aprovechando la capacidad computacional de un supercomputador (ZINE-Javeriana) y haciendo uso de herramientas gratuitas como Google Colab, buscamos evaluar la precisión y el tiempo de ejecución de estas metodologías en situaciones específicas donde contamos con soluciones explícitas.Ítem Exploring Neural Networks for computing the Hilbert Class Field of Quadratic Extensions of Q(Pontificia Universidad Javeriana) Céspedes Gil, Mateo David; Plazas Vargas, Jorge Andres; Vargas Domínguez, Andrés; Cabarcas Jaramillo, Daniel; Mantilla Soler, Guillermo ArturoEl Hilbert Class Field también conocido como el cuerpo de clase absoluto de un cuerpo K es la extensión abeliana maximal no ramificada de un cuerpo de números. Métodos para calcularlo explicitamente existen solo para un número reducido de casos. En este trabajo se presenta la teoría algebraíca de números básica para abordar el caso en que K es cuadrático, el cual se encuentra resuelto solo cuando el cuerpo es imaginario. Finalmente se desarrolla marco teorico usando métodos de aprendizaje de máquinas y posiblemente geometría no conmutativa para investigar el caso en que K es cuadrático real.Ítem Estimación de ceros de la función zeta de Riemann(Pontificia Universidad Javeriana) Gómez Cubillos, Alfonso; Plazas Vargas, Jorge Andrés; Chacón Cortés, Leonardo Fabio; Aldana Domínguez, Clara Lucia; Rodríguez Vega, John JaimeLa hipótesis de Riemann, ha sido uno de los problemas de las Matemáticas más investigado. En este estudio vamos a exponer en primer lugar, de una forma muy esquemática cuáles han sido las principales líneas de trabajo hasta la fecha. En una segunda parte, se presenta una revisión de los resultados recientes obtenidos por A. Connes y C. Consani en los cuales se estudia la geometría de operadores asociados a los ceros no triviales de la función zeta de Riemann. El trabajo enmarca estos resultados dentro del contexto histórico de la hipótesis de Riemann y los conecta con ideas actuales para su abordaje introduciendo conceptos y relacionándolos como el de las tripletas espectrales, las funciones prolate esferoidales y los zeta-ciclos.Ítem Integración de modelos de optimización y predicción para sistemas de bicicletas compartidas(Pontificia Universidad Javeriana) De Mier Medellin, Juliana; Ortiz Astorquiza, Camilo; Contardo, Claudio; Gonzalez, Jaime Esteban; Acosa Avena, Lina MariaLos sistemas de bicicletas compartidas se han vuelto cada vez más populares en los últimos años como modo de transporte sostenible y rentable. Sin embargo, la gestión eficiente de estos sistemas requiere una predicción precisa de la demanda, una ubicación óptima de las estaciones y estrategias de reequilibrio efectivas. Para abordar estos desafíos, proponemos un marco integral que integra optimización combinatoria y técnicas de aprendizaje automático. El marco consta de un circuito de retroalimentación compuesto de dos partes: un modelo de aprendizaje automático para predecir patrones de demanda y un modelo de optimización para determinar la ubicación de las estaciones con reequilibrio para reasignar bicicletas entre las estaciones, garantizando que los usuarios tengan acceso a ellas cuando y donde sea necesario. Para evaluar el marco, se llevaron a cabo extensos experimentos computacionales utilizando datos reales de Tembici, un sistema de bicicletas compartidas en Bogotá. Se crearon varias instancias y los resultados demuestran que el sistema propuesto mejora significativamente el rendimiento de los sistemas de bicicletas compartidas. Estas mejoras conducen a una reducción de los costos operativos, una mayor satisfacción del usuario y una mayor sostenibilidad, lo que supone una valiosa contribución al campo de la optimización del sistema de bicicletas compartidas y al análisis de la demanda. En general, el marco propuesto proporciona una herramienta poderosa y eficiente para gestionar sistemas de bicicletas compartidas, con aplicaciones prácticas para mejorar el rendimiento de dichos sistemas.Ítem Derivada del operador de Hilbert actuando sobre el espacio de Bloch y espacios de Bergman(Pontificia Universidad Javeriana) Sánchez Ordoñez, Miguel Ángel; Ramos Fernandez, Julio Cesar; Rodríguez Quiñones, Leoncio; Esmeral García, KevinEl operador generalizado de Hilbert es la generalización del operador clásico de Hilbert inducido por la matriz de Hilbert. Teniendo esto en mente, se considera la derivada del operador de Hilbert como el operador dado por derivar el operador generalizado de Hilbert, el objetivo de este trabajo es estudiar este operador al actuar sobre el espacio de Bloch y sobre los espacios de Bergman.Ítem Interaction between an optimization model for a Multi-Level Facility Location Problem and a Machine Learning model for demand prediction(Pontificia Universidad Javeriana) Frieri Cabrera, Rafael Salvador; Ortiz Astorquiza, Camilo; García Peña, Marisol; Zetina, Carlos ArmandoPresentamos un modelo iterativo de optimización y predicción que integra un Problema de Ubicación de Instalaciones con un modelo de Aprendizaje de Máquina para predicción de demanda. Creamos un lazo retroalimentado entre ambos modelos para analizar como influencian sus decisiones mutuamente. Inicialmente se fija un valor de demandas para el Problema de Ubicación de Instalaciones y, basado en la red de distribución provista por la solución, recalculamos la predicción de la demanda usando el factor de la calidad del servicio (QoS por sus siglas en Inglés), y luego se reajusta la red de distribución iterativamente observando la convergencia de las soluciones. En particular, consideramos tres diferentes formulaciones de Programación Entera Mixta para el Problema de Ubicación de Instalaciones y utilizamos una Red Neuronal Artificial como nuestro modelo de Aprendizaje de Máquina. Más allá, realizamos un conjunto de experimentos computacionales para estudiar el comportamiento de la interacción de los modelos y analizar su desempeño. Los resultados muestran la importancia del QoS al conectar ambos modelos, que en todas las instancias de prueba del lazo retroalimentado convergen a una solución. También resaltamos las características esenciales del problema y proveemos resultados para futuras investigaciones.Ítem Comparison of weighted low-rank approximation methods for biplot imputation in genotype-by-environment data(Pontificia Universidad Javeriana) Calvo Mazuera, Sergio Eduardo; García Peña, Marisol; Borges de Araújo, Lúcio; Acosta Avena, Lina MaríaEn este trabajo de grado se busca comparar cuatro métodos de aproximación ponderada de bajo rango y evaluar su uso como técnicas de imputación en matrices genotipo-por-ambiente. Las matrices a considerar tienen la particularidad de provenir del análisis de la interacción multiplicativa entre genotipo y ambiente bajo un modelo AMMI, la cual es visualizada mediante un biplot. Para la comparación y evaluación de los métodos se hace uso de métricas de bondad de ajuste y error de predicción en un estudio de simulación con datos artificiales y reales.Ítem Homología persistente y curvatura discreta en el análisis topológico de datos(Pontificia Universidad Javeriana) Duque Giraldo, Fabio Alejandro; Vargas Domínguez, Andrés; Granados Erazo, Óscar Mauricio; Rodríguez Carreño, Juan Sebastián; Ángel Cárdenas, Jairo AndrésEn este trabajo se expone la teoría básica necesaria para aplicar la homología persistente para el análisis topológico de datos, utilizando el algoritmo de Vietoris-Rips. La presentación incluye las herramientas necesarias de homología simplicial y la construcción de los complejos simpliciales requeridos para el uso de este algoritmo. Adicionalmente, se hace una breve introducción a una noción de curvatura discreta que se conoce como la curvatura de Ricci-Forman y que recientemente se ha venido aplicando al estudio de redes complejas. Utilizando los valores de esta curvatura discreta como pesos, se presenta un método para hacer homologia persistente sobre grafos que permite estudiar la estructura topológica de un grafo o una red. Como aplicación de estos métodos, se estudian redes de corrupción política en Brasil y España, y se comparan con un modelo aleatorio propuesto en la literatura para simular este tipo de estructuras. Usando inicialmente técnicas clásicas del análisis de redes, se observa que el modelo reproduce algunas de las propiedades estadísticas más sobresalientes de estas redes. Por último, se usa la homología persistente junto con la curvatura discreta para comparar topológicamente este modelo aleatorio con las redes empíricas en cuestión y se muestra que el modelo no logra capturar completamente la información topológica de estas redes de corrupción. Se concluye el documento con algunas observaciones, incluyendo posibles rutas para continuar el trabajo y mejorar el modelo aleatorio estudiado.Ítem Curvas elípticas y funciones zeta(Pontificia Universidad Javeriana) Yebara Gutiérrez, Junior Raid; Chacon Cortés, Leonardo Fabio; Quintero Vanegas, Elkin; Plazas Vargas, Jorge Andrés; Roa Leguizamon, LeonardoEn esta tesis se contemplan los aspectos más fundamentales del concepto de curvas elípticas como: cota para su cantidad de puntos en un cuerpo finito, estructura de grupo de los puntos sobre una curva elíptica, aplicaciones de las curvas elípticas. También se tocan temas mas avanzados como la racionalidad de la función zeta asociada a una curva elíptica.Ítem Submodularity and combinatorial representations for the multicommodity network design problem(Pontificia Universidad Javeriana) Gutierrez Diaz, Diana Carolina; Ortiz Astorquiza, Camilo; Contreras, IvanPresentamos una nueva representación combinatoria para el problema de diseño de redes multiproducto (MUND), tal que su función objetivo satisface la propiedad de submodularidad. Gracias a la propiedad de submodularidad es posible establecer heurísticas, para dos variantes del problema, tales que dichas heurísticas sean algoritmos de aproximación que corren en tiempo polinomial y para los cuales es posible establecer cotas del peor caso de 1/e para grandes instancias.Ítem Homología persistente para la detección de anomalías(Pontificia Universidad Javeriana) Romero Castro, Luis Carlos; Del Corral Martinez, Cesar Augusto; Cardona Guio, Alexander; Torres Galindo, Arley FernandoEn este trabajo se presentan los fundamentos de la teoría de la Homología Persistente, como una herramienta del Análisis Topológico de Datos para identificar ciertas aspectos de conjuntos de datos que permitan caracterizarlos desde un punto de vista geométrico. Para ello, se abordaran aspectos conceptuales y algorítmicos de la teoría que permitan aplicarla en la detección de anomalías en un conjunto de datos. Con el fin de ejemplificar esta aplicación, se aplica la teoría de la Homología Persistente en una serie temporal que representa el uso de taxis en la ciudad de Nueva York en un lapso de tiempo determinado. Los resultados de nuestra indagación nos permite concluir que la Homología Persistente puede constituirse en una herramienta de gran utilidad para la detección de datos anómalos.Ítem Sobre las ecuaciones de Navier-Stokes(Pontificia Universidad Javeriana) Moreno Pérez, Juan Felipe; Chacón Cortés, Leonardo Fabio; Vargas Domínguez, Andrés; Juajibioy Otero, Juan CarlosEl presente trabajo expone métodos de solución a las ecuaciones de Navier-Stokes. Cada método está basado en la transformación de las ecuaciones de Navier-Stokes usando la función de vorticidad y la función de corriente. Estas funciones nos permiten trabajar los modelos numéricos (Método espectral de Fourier y Puntos de colocación de Chebyshev) de una manera más sencilla y hacer supuestos sobre la formas analítica de la solución en un tercer método analítico.Ítem A walk through the theory of single and multidimensional persistence(Pontificia Universidad Javeriana) Gaitan Escarpeta, Juan Sebastian; Torres Galindo, Arley Fernando; Plazas Vargas, Jorge Andres; Angel Cardenas, Jairo AndresEn este trabajo se exploran diversos resultados que permiten el estudio de homología persistente multidimensional. Se inica introduciendo definiciones y resultados esenciales de homología simplicial con los que posteriormente se construye la teoría de homología persistente y se enuncian sus resultados principales. Se introduce la teoría de homología persistente multidimensional junto con los antecedentes algebráicos que la sustentan.Ítem The learning problem, classification case(Pontificia Universidad Javeriana) Marquet, Jerome Pierre V; Acosta Avena, Lina Maria; García Peña, Marisol; Ortiz Astorquiza, Camilo“Machine learning” o aprendizaje automático se refiere a un conjunto de algoritmos destinados a hacer las predicciones más precisas posibles de una variable de salida basada en los valores de algunas variables de entrada. Cuando la variable de salida es categórica, el proceso de generación de una predicción se llama clasificación. Problemas de este tipo ocurren muy a menudo en la práctica (por ejemplo: predecir el género de una persona, si un cliente de un banco va a incumplir su hipoteca, o si el precio de una acción en particular va a subir o bajar). Un problema importante en la clasificación es el reconocimiento de imágenes. Por ejemplo, hay reconocimiento facial en las redes sociales, apoyo diagnóstico en imágenes médicas o descubrimiento de productos (encontrar un producto similar usando una imagen de referencia). Presentamos y resolvimos el problema de aprendizaje en clasificación desde una perspectiva teórica y práctica. Primero, explicamos lo que entendemos por “aprender” para un algoritmo. Introducimos la notación matemática de las difer entes partes del problema de aprendizaje en clasificación, y demostramos matemáticamente que el aprendizaje es factible bajo nuestra definición de “capacidad de aprendizaje”. A continuación, nos concentramos en un método de aprendizaje llamado red neuronal artificial. Este método es una forma muy flexible de modelar fenómenos altamente no lineales. Introdujimos la notación matemática, y demostramos las diferentes ecuaciones que rigen su funcionamiento (el algoritmo de backpropagation en particular). Luego, mostramos cómo podemos implementar el método de red neuronal en el paquete de software R. Por último, presentamos las actuaciones del programa en un famoso conjunto de datos de prueba, a saber, la base de datos MNIST, y comparamos nuestros resultados con los mencionados en el sitio web de Lecun, que estudió ampliamente esta base de datos.Ítem Propiedades del operador composición con peso actuando entre espacios lp con peso(Pontificia Universidad Javeriana) Cardona Gutierrez, Juan David; Ramos Fernández, Julio César; Sanabria, José Eduardo; Rodriguez Quiñones, LeoncioSe presentan las propiedades principales del espacio de sucesiones lp con y sin peso. Cuándo este espacio define unespacio de Banach, y resultados como la equivalencia entre las desigualdades de Hölder yMinkowski. Luego, para una sucesión fija u = {u(k)} y una función ϕ : N → N, se define el operador lineal de composición con peso W_{ϕ,u} con símbolos ϕ,u por W_{ϕ,u}(x) := u · (x ° ϕ) , donde x = {x(k)} ∈ lp(r). Para dicho operador, se presenta una caracterización de las propiedades usuales en Análisis Funcional, como lo son la continuidad, compacidad, acotación por abajo, cuándo tiene rango cerrado y se calcula su norma esencial. Finalmente, se resaltan los resultados obtenidos en el documento y se concluye con algunos problemas abiertos acordes a la temática abordada.Ítem Factorizaciones exactas de grupos finitos(Pontificia Universidad Javeriana) Umbarila Martin, Maria Angelica; Ochoa Arango, Jesus Alonso; Pariguan, Eddy; Galindo Martinez, Cesar NeyitEn este trabajo estudiaremos la noción de factorización exacta de grupos finitos, determinaremos las factorizaciones exactas de los grupos dihédricros y se determinará el número exacto de estas. Así mismo, estudiaremos las factorizaciones exactas de los grupos Alternantes y obtendremos una cota para el número de factorizaciones exactas del Grupo Alternante.Ítem Una aproximación geométrica al problema de transferencia(Pontificia Universidad Javeriana) Ramírez Pastrán, René Mauricio; Ochoa Arango, Jesús Alonso; Carvajal Escobar, Andrés Mauricio; Penagos Londoño, Gabriel IgnacioEl presente documento contiene una recopilación de terminología y resultados de la Teoría Moderna de Equilibrio General que es utilizada por Yves Balasko en su caracterización del problema de transferencia en su artículo de 2014 llamado The transfer problem: A complete characterization. Esta caracterización está basada en el número índice asociado con un equilibrio walrasiano regular de manera tal que la inestabilidad del equilibrio es equivalente a la existencia de un problema de transferencia en una economía de intercambio puro.Ítem Propiedades de los multiplicadores sobre espacios de sucesiones de Köthe(Pontificia Universidad Javeriana) Rivera Sarmiento, María Alejandra; Ramos Fernández, Julio César; Murcia Rodríguez, Edwin Gonzalo; Chaparro Gutiérrez, Héctor CamiloEl presente trabajo tiene como objetivo estudiar el operador multiplicación definido sobre los espacios de sucesiones de Köthe, el cual contiene espacios clásicos como lo son el espacio $c_0$, el espacio $l^{\infty}$, los espacios $l^{p}$ para $1 \leq p < \infty$, entre otros. Por esta razón, se hace un estudio de las propiedades del espacio pasando por su definición, las propiedades que posee la norma, su espacio dual y el dual de Köthe del mismo y, por último, se establecen resultados para relacionar la norma del espacio con la norma del dual. Una vez descrito y caracterizado el espacio, se continúa con el estudio de las propiedades que se deben imponer para poder conseguir operadores de multiplicación que sean acotados, tengan rango cerrado, sean compactos o Fredholm, entre otros, todo esto para culminar el estudio con el teorema principal del trabajo, el cual establece las condiciones para calcular la norma esencial del operador multiplicación.Ítem The Riemann zeta function and tate's thesis(Pontificia Universidad Javeriana) Carrillo Santana, Sebastián; Bogoya Ramírez, Johan Manuel; Plazas Vargas, Jorge Andrés; Mantilla Soler, Guillermo; Chacón Cortés, Leonardo FabioLa primera parte del documento abarca los temas clásicos sobre la función zeta de Riemann, principalmente lo que hoy en día se conoce como "Riemann's memoir". La segunda parte del documento da una introducción a la tesis de Tate, con todos los prerrequisitos analíticos necesarios para entenderla.Ítem Sobre la compacidad y la norma esencial del operador multiplicación actuando en espacios L_p(X)(Pontificia Universidad Javeriana) Lemus Abril, Yesid Alejandro; Ramos Fernández, Julio César; Murcia Rodríguez, Edwin Gonzalo; Carpintero Figueroa, Carlos RafaelEn este trabajo de grado se realizo un estudio sobre el operador de multiplicación actuando sobre espacios Lp(X), entre las cuales podemos encontrar la continuidad y el rango cerrado del operador de multiplicación. Se destaca de manera importante en este trabajo, una nueva caracterización de la compacidad para el operador de multiplicación entre dos espacios Lp(X) iguales, en términos de la descomposición atómica del espacio de medida (Ω,Σ,μ). De igual manera una estimación de la norma esencial del mismo.Ítem Persistent homology : computation and applications of a modern data analysis tool(Pontificia Universidad Javeriana) González Jiménez, David Ricardo; Velázquez Mendez, Mario Andres; Combariza Gonzalez, German Andres; Angel Cardenas, Jairo AndresEste trabajo es un esfuerzo por resumir los principios de la homologia persistente y explicar sus intuiciones matemáticas y porque esto lo hace una poderosa herramienta. Para poner esto más en enfasis se revisara su aplicación en el campo de redes sociales, en particular, se mostrara cómo la homologia persistente puede ayudar a desenmascarar importantes relaciones globales antes no exploradas.Ítem Estructuras de biálgebras de Lie sobre el álgebra de Lie de Heisenberg y el álgebra de polinomios truncados(Pontificia Universidad Javeriana) Moreno Mendez, Danna Odette; Ochoa Arango, Jesús Alonso; Vargas Domínguez, Andrés; Tiraboschi, Alejandro LeopoldoEn este trabajo determinamos las estructuras de biálgebras sobre los polinomios truncados Ck[t], demostrando que todas estas provienen de derivaciones internas y se pueden obtener a partir de la ecuación clásica de Yang Baxter. Además, estudiamos a profundidad la clasificación de estructuras centrales sobre el álgebra de Heisenberg h2n+1, estudiada por M. Benayed y E.M. Souidi.Ítem Rigidity of geodesic incompleteness and conformal symmetries(Pontificia Universidad Javeriana) Franco Grisales, Andrés; Vargas Domínguez, Andrés; Castañeda Colorado, Leonardo; Plazas Vargas, Jorge AndrésSe presenta un resultado de rigidez en geometría Lorentziana, relacionado con la conjetura de Bartnik, bajo la hipótesis de la existencia de un campo vectorial concircular con ciertas propiedades. Primero, se realiza una exposición completa del teorema de splitting Lorentziano, para el tensor de Bakry-Emery-Ricci, el cual es una herramienta importante para trabajar en el contexto de la conjetura de Bartnik. Luego, se muestra la equivalencia entre la conjetura de Bartnik y la existencia de un campo vectorial conforme tipo tiempo completo, y se prueba el resultado mencionado. También se realizan los cálculos explícitos de las fórmulas de las derivadas de Lie de ciertos tensores en notación invariante, y se dan condiciones para que un espaciotiempo de Robertson-Walker generalizado tenga un campo vectorial concircular tipo tiempo.Ítem Hecke operators in K-theory of bianchi groups(Pontificia Universidad Javeriana) Muñoz Ramírez, David Esteban; Velásquez Méndez, Mario Andrés; Plazas Vargas, Jorge Andrés; Combariza González, Germán Andrés; Ángel Cardenas, Jairo AndrésEsta tesis es esencialmente una introducción al estudio de operadores de Hecke actuando en la K-teoría equivariante del espacio clasificante para acciones propias de grupos de Bianchi. El documento está dividido en dos partes. La primera parte incluye definiciones y generalidades sobre acciones propias, (co)homología de Bredon, K-teoría y operadores de Hecke; éstos se dan siempre pensando en su aplicación a grupos de Bianchi, que son grupos de matrices discretos. Después de esto, definimos un operador de Hecke en K-teoría usando una descomposición por clases de conjugación de elementos de orden finito. En la segunda parte, describimos la estructura algebraica de los grupos de Bianchi, esto es, su descomposición como productos amalgamados, incluyendo descomposiciones para grupos de Bianchi Euclideanos. Nos centramos en el grupo $\Gamma_1=PSL_2(Z[i])$, para el cual calculamos su cohomología de grupos, cohomología de Bredon y K-teoría equivariante del espacio clasificante para acciones propias. Luego, dado un primo en $Z[i]$, definimos un subgrupo de congruencia asociado en $\Gamma_1$ a fin de calcular un operador de Hecke en $K_{\Gamma_1}^\ast(\underline{E}\Gamma_1)$ factorizando por la K-teoría de este subgrupo. Concluimos con cálculos explícitos para $p=1+i$.Ítem Una introducción a la teoría de especies y sus relaciones con las funciones simétricas(Pontificia Universidad Javeriana) Salinas Torres, Adriana Marcela; Pariguan Martinez, Eddy Josefina; Diaz Camacho, Rafael GabrielSe presenta una descripción combinatoria para la categorificación del espacio afín, haciendo uso de la teoría de especies combinatorias y algunas relaciones con el anillo de funciones simétricas.Ítem Un análsis comprensivo sobre tópicos en teoría de la medida, teoría de distribuciones y una introducción a la teoría de espacios de Sobolev(Pontificia Universidad Javeriana) García García, Diego Armando; Murcia Rordríguez, Edwin Gonzalo; Fernández Ramos, Julio César; Rincón Villamizar, Michael AlexanderEn esta monografía, son presentados los resultados de una recopilación bibliográfica, puntualmente el análisis y estudio de [Lieb and Loss, 1997] y [Kesavan, 1989]. Se trabajan cálculos y demostraciones que los autores omiten en cada texto y algunos ejercicios que son utilizados en el desarrollo de los temas, así como ejemplos y contraejemplos que ayudan a analizar mejor los resultados encontrados en estos. El Capítulo 1, está dedicado a los capítulos 1 y 2 de [Lieb and Loss, 1997] y en algunas secciones en específico. En éste, se aborda la teoría de la medida y propiedades de los espacios L p . En el Capítulo 2 se analizan los capítulos 1 y 2 de [Kesavan, 1989], allí se trabajó la teoría de distribuciones y una introducción a los espacios de Sobolev de orden entero.Ítem La ecuación funcional para la función zeta de Riemann y algunas aplicaciones(Pontificia Universidad Javeriana) Munévar Peña, Jiwell Enrique; Chacón Cortés, Leonardo Fabio; Plazas Vargas, Jorge Andrés; Rodríguez Vega, Jhon JaimeEn el primer capítulo del documento presentado, se recogen aquellos conceptos importantes para el desarrollo de la teoría de la función zeta de Riemann: funciones de variable compleja, la fórmula integral de Cauchy, el teorema de los residuos y la función Gamma como una extensión de la función factorial de un número. Luego, se enuncian la definición de la función zeta de Riemann, su relación con los números primos y cuatro demostraciones de la ecuación funcional asociada a la función zeta de Riemann que incluyen varias versiones de la continuación analítica de la función mencionada, su idea principal y lemas o teoremas necesarios para comprender la interesante ecuación funcional. En el segundo capítulo se hace énfasis en dos generalizaciones de la función zeta de Riemann: las funciones L de Dirithlet y las funciones zeta de Hurwitz, así, se esbozan la extensión analítica y la ecuación funcional para cada tipo de función, incluyendo sus respectivas demostraciones. En el tercer capítulo se presentan varios resultados interesantes acerca de la relación entre las funciones aritméticas y la función zeta de Riemann, que de por cierto, son la motivación más relevante para que se halla realizado el presente trabajo monográfico. Finalmente, en el cuarto capítulo, se ofrecen tres definiciones de funciones zeta espectrales y una serie de ejemplos que tienen como fin motivar al lector a involucrarse en los diferentes caminos que se presentan al estudiar las funciones zeta espectrales.