Transformada de Radon y su inversión
Fecha
2018-05-25Autor(es)
Lozano Penagos, Juan SebastiánDirector(es)
Silva Rafeiro, Humberto GilEvaluador(es)
Chacón Cortés, Leonardo FabioPublicador
Pontificia Universidad Javeriana
Facultad
Facultad de Ciencias
Programa
Matemáticas
Título obtenido
Matemático (a)
Tipo
Tesis/Trabajo de grado - Monografía - Pregrado
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Citación
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Resumen
Se introducen las coordenadas polares generalizadas y las funciones Gamma y Beta, estudiaremos las integrales y derivadas fraccionarias para posteriormente usarlas en el desarrollo de una fórmula de inversión para la transformada de Radon. Introduciremos el Laplaciano fraccionario para motivar nuestro estudio sobre los potenciales de Riesz, calcularemos su transformada de Fourier y hablaremos brevemente sobre el espacio de Lizorkin, el cuál será, un subespacio del espacio de Scwhartz invariante bajo la acción del potencial de Riesz.
Estudiaremos la transformada de Radon en el espacio tridimensional, hallaremos su transformada de Fourier y una fórmula de inversión para la transformada de Radon, esta estará escrita en términos del operador Laplaciano y la transformada dual de Radon. Para el caso general primero mostraremos que la transformada de Radon conmuta con movimientos rígidos del espacio euclideano, lo cuál, nos permite reducir el problema de inversión a funciones radiales pertenecientes al espacio de Schwartz. En el caso de funciones radiales hallaremos una fórmula de inversión usando integrales fraccionarias e integración polar.
Para funciones arbitrarias perteneciendo al espacio de Schwartz usaremos la integración sobre el grupo especial ortogonal y su relación con la integración sobre la esfera para hallar una fórmula de inversión usando el caso radial. Finalmente, introduciremos la transformada dual de Radon y usaremos los potenciales de Riesz para escribir a la transformada inversa de Radon en términos de potencias fraccionarias del operador Laplaciano
Abstract
The generalized polar coordinates and Gamma function are introduced, we will study the integrals and fractional derivatives and then use them in the development of a inversion formula for the Radon transform. We introduce the fractional Laplacian to motivate our study on the Riesz potentials, calculate its Fourier transform and talk briefly about the Lizorkin space, which will be, a subspace of Schwartz space invariant under the Riesz potential action.
We will study the Radon transform into three-dimensional space, find its fourier transform and a inversion formula for the Radon transform, thos is written in terms of the Laplacian operator and the dual Radon transform. For the general case first we will show that the radon transform commutates with rigid motions of the Euclidean space, which allow us to reduce the inversion problem and consider first radial functions belonging to the Schwartz space. In the case of radial functions we will use polar coordinates and fractional integrals.
For arbitrary functions belonging to the Schwartz space we will use the integration on the orthogonal special group and its relationship with the integration on the sphere to find and inversion formula using the radial case. Finally, we will introduce the dual Radon transform and use the Riesz potentials to write the inverse Radon transform in terms of fractional
powers of the Laplacian operator.
Palabras clave
Transformada de RadonCoordenadas polares
Función gamma
Integrales fraccionarias
Derivadas fraccionarias
Potenciales de Riesz
Keywords
Radon transformPolar coordinates
Gamma function
Fractional integrals
Fractional derivatives
Riesz potentials
Temas
Matemáticas - Tesis y disertaciones académicasTransformaciones de radón
Funciones gamma
Funciones beta
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