Amalgam decomposition and cohomology of the group SL_2(Z) and the Bianchi groups
Data
2018-11-21Autore
Muñoz Ramírez, David EstebanDirettore
Velásquez Méndez, Mario AndrésValutatori
Combariza González, Germán AndrésPublishers
Pontificia Universidad Javeriana
facoltà
Facultad de Ciencias
programma
Matemáticas
Titolo ottenuto
Matemático (a)
Tipo
Tesis/Trabajo de grado - Monografía - Pregrado
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Sommario
Este trabajo de grado contiene un par de ejemplos de cómo los grupos de cohomología de ciertos grupos de matrices se pueden calcular usando su descomposición como producto amalgamado y, la relación entre esos grupos y sus espacios clasificantes correspondientes.
El documento está dividido en dos partes. La primera parte describe un método geométrico para probar que el grupo especial lineal SL_2(Z) es un producto amalgamado de grupos cíclicos, usando la acción del grupo sobre el plano hiperbólico. Luego, usamos esta descomposición y una sucesión exacta larga de Mayer-Vietoris para calcular los grupos de cohomología de este grupo.
La segunda parte del trabajo de grado trata con grupos de Bianchi, que son definidos como PSL_2(O_d), donde O_d es el anillo de enteros de una extensión cuadrática imaginaria del cuerpo de los números racionales. La descomposición en amalgama de unos grupos particulares, los grupos de Bianchi Euclideanos, es dada, y concluimos con el cálculo de los grupos de cohomología del grupo Gamma_1=PSL_2(O_1).
Astratto
This thesis contains a couple of examples of how the cohomology groups of some groups of matrices can be computed using their decomposition as an amalgamated product and, the relation between those groups and their corresponding classifying spaces.
The document is divided in two parts. The first part describes a geometric method to prove that the special linear group SL_2(Z) is an amalgamated product of cyclic groups, using the action of the group on the hyperbolic plane. Then, we use this decomposition and a Mayer-Vietoris long exact sequence to compute the cohomology groups of this group.
The second part of the thesis deals with Bianchi groups, which are defined as PSL_2(O_d), where O_d is the ring of integers of an imaginary quadratic extension of the field of rational numbers. The amalgam decomposition of a particular groups, the Euclidean Bianchi groups, is given, and we conclude with the computation of the cohomology groups of the group Gamma_1=PSL_2(O_1).
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